李武炎 2012/01/19

人類使用語言互相溝通，電腦則只接受0與1，而科學家與大自然之間，則是藉數學語言來溝通。可惜有些人認為，假如只為了探討自然，而非為數學而數學，只需要在特定情況下，找出對應的數學定理即可，卻不管數學證明與精確的表達方式。

【前言】

將過去四十年中《科學月刊》所刊載的各學科文章按編成專書。

數學與大自然的對話

【陳錦輝，清華大學物理研究所畢業】

類使用語言互相溝通，電腦則只接受0與1，而科學家與大自然之間，則是藉數學語言來溝通。

可惜有些人認為，假如只為了探討自然，而非為數學而數學，只需要在特定情況下，找出對應的數學定理即可，卻不管數學證明與精確的表達方式。因此，數學能力不良就像用外語跟別人交談，常常發生誤解，用錯字句。難怪自然的傳譯者，時常會錯了大自然的本意。

實質模型與數學模型的異同

在現實世界中量度距離，不見得每次相同；同一模具做出來的東西，也會有公差。但在數學世界裡，兩點距離永遠一樣；而在幾何圖形中，也沒有所謂公差。由於數學不是以大自然為主要研究對象，它只是一連串假設和邏輯的推導，研究那些僅存在於思想中的東西，所以它不算是一門自然科學。行星運轉的模型，是一個實質的模型，而非數學模型。

舉個例子：實質模型相同，但因所用儀器不同，則會得出不同的結果。若用相同的材質，去做一臺為某儀器兩倍大的儀器，則此兩臺儀器的觀察結果就有些不同。

數學研究的東西存在嗎？

要是沒有數學家，「素數」也存在嗎？當我們想它時，它就存在腦裡，但當無人想它們時，則什麼也不存在。如果在黑板寫上763306，這數字存在嗎？這像在黑板上畫一頭怪獸，其實它並不存在；同理，「數」可以談論或書寫，事實上卻不存在。幾何形狀存在嗎？我們看到的是杯子本身，還是杯子的形狀呢？我們不能把杯子從它的形狀分離，杯子的形狀離開了杯子就不存在。

既然數學是研究不存在的東西，為甚麼大家都用相同的概念呢？

理論上，我們能隨心所欲地定義新概念，就像一位船長愛怎麼開船，便怎麼開；但他絕不會坐一艘不耐風雨的船出海。船長們彼此交換經驗，採用同樣穩當的船。所以，那些同時代，而又能互相溝通的數學家，都採用相同的概念。

研究不存在的東西，卻可得出真理？難道從不存在的事物，比從來存在的事物，可以得到更準確的的知識？

小孩要懂得怎樣數石頭、棒棒糖，「四顆石加三顆等於七顆石」、「四粒糖加三粒為七粒糖」，才明白「4＋3＝7」。先要看過皮球，才會有球體的觀念。數學就是這樣由具體而抽象，慢慢建立起來的；因此，數學留有大自然的嬰兒烙印，就像孩子肖似父母。

亞當斯(Adams)與李佛瑞(Leverrier)幾乎同時宣告：天王星的運動是受另一不明行星的影響，於是各自寫信到不同的天文臺，請他們循特定的方位去尋找這顆新星。其中一天文臺不相信單靠紙和筆，就能預知那兒有新星，結果由另一天文臺順利找到了海王星。

倘若可以看到物體的本身，為何還要研究它的圖像？

我們可以摸到岩石的粗糙表面，但卻摸不到它在水中的倒影，只能摸到冰涼的水。但倒影是岩石的一個傳真圖像，突出和隆起也可在水中看到，雖然一些小地方不能反映，但大體上輪廓卻都保留著；數學世界猶如水中倒影，正是我們生活世界的圖像。

地圖上只載有最重要的東西；依目的不同，所用地圖也不同。在處理問題時，如能把次要的細節擱到一旁，事情就更簡單清楚了。

況且，在現實事物之外，再創造一般的觀念，把它們從原物體分離之後，一下就得出許多知識，適用於各式各樣的事物。同一模型，又可應用到與實際完全不同的情況中，假使公理的陳述夠周詳完整，則在推理時，則根本不需要知道這些話的意義，就可以用同樣的語言，推出新結論。假如結論與事實有出入，則表示在建立模型時，遺漏了重要的東西。就像同一條方程式，可表示力學、電路，甚至航空上的某種情況，實際上以電路模型作實驗求解，遠比建立真實的航空模型，來得經濟實惠。

為什麼同一事實會使用不同的模型？

有時必須懂得證明，才能了解數學或自然的定理，甚至看了第二個完全不同的證明才能真懂。正如物理概念一樣，假如有兩種理論，構想完全不同，卻有完全相同的結論，通常可以由數學證明甲、乙相通。但科學卻無法辦到，因兩者都與實驗有相同程度的符合，例如力矩原理，乃能量守恆的一種表達方式。

一種情況的幾種說法，在科學上是完全等效的，但心理效果卻不同。首先，因個人從小所受的訓練，會比較喜歡某一種，但當你在猜想新定律時，在心理上他們完全不同，會帶給你非常不同的想法。「自然」驚人的特性之一，就是有許許多多可能的解釋。

有時在甲理論作一些很自然的小修改，在乙理論則要作相當大的修改，且根本一點都不自然。理論與結果不相符時，我們可以不斷補充，並修改出各種奇怪的規則及假設來解釋；但為了挽救一個被實驗推翻的假設，而對它東挖西補，弄得面目全非，這兒剛縫上，那兒又被扯破，再補下去並不值得。

即使在理論中極小的改變，可能導致它的哲學背景或構想有巨大改變；例如牛頓力學對水星運動預測的一點點差距，就引出了廣義相對論。你不能把一個完美的理論，修改成不完美，於是只好去建立另一「完美」的理論。總之，哲學背景也許可能使你猜想時有所偏見，但亦可能幫助你猜想，這是很難說的。

如何挑選模型？

一種情況，往往有幾個數學模型可供選擇，既要挑一個合適的（不可能十全十美），最好也不太複雜。妥切與簡單，往往互相矛盾，所以要權衡利害，排除次要的東西。例如萬有引力定律公式簡單（並非說作用簡單），卻是近似的：愛因斯坦把它修正後，仍未考慮量子化，所以應依不同程度與不同目的，來使用不同模型。即使是使用最粗糙的數學模型，也會為我們帶來更深一層的了解。

詳盡的物理定律，與實際現象往往有很大的距離。例如在遠處看冰河運動，不一定要記得冰塊是由許多小六角形的結晶體合成的，要由冰結晶推到冰河運動，還需要走好長好長的路。費國曼(Feynman)曾說過：「自然似乎把真實世界中最重要的一些性質，設計成複雜而偶然的結果……有時候，也許會發覺原理已經太多了，在建立模型時不能全部採納，因為它們是互相矛盾的。如何構想那些要保存？那些要丟掉呢？其實，也許只靠運氣，不過看來很需要技巧。」

近代物理定律，看起來越來越不合理，越來越不像直覺，模型也就越來越抽象。電子、光子到底是粒子還是波？它們的行為和我們見過的任何東西都不一樣；電子透過雙縫形成繞射圖案，你無法預測電子會由那一個小孔出來。所以，以前有人說：「任何科學都必須在相同條件下，產生相同的結果。」這句話現在已經過時了。

幸好我們認識新事物，不一定要依靠類比。曾經看過飛鳥的人，固然有助於向他解釋飛機：但未看過飛鳥的，並不是說一定不能了解飛機，當然這就得靠數學了。

（1991年11月號）

參考資料：

1.Renyi A., 1967, Dialogue ?ber Mathematik, Birkh?user Verlag Basel und Stuttgart.

2.Feynman R., 1967, The Character of Physical Law, Cambridge, Mass., The M. I. T. Press.

（本文轉載李武炎主編之書《什麼不是數學？》，由臺灣商務印書館出版發行）